Scrivi la legge oraria di un moto armonico con oscillazione di ampiezza totale, da estremo a estremo della
oscillazione, pari a 2m, di frequenza 3Hz e con cronometro avviato quando il punto è al centro dell'oscillazione.
Determina in quale istanti il corpo si trova a distanza 0.5 m dal centro dell'oscillazione. Un altro corpo si
muove sulla stessa traiettoria, partendo dallo stesso punto nello stesso istante ma oscillando con frequenza
doppia. Determina in quali istanti i due corpi si incontrano.
L'ampiezza totale è il doppio dell'ampiezza della semioscillazione, cioè del
raggio della circonferenza traiettoria del moto uniforme da cui discende
il moto armonico come proiezione sul diametro.
Dunque
x = sin(2p·3·t)
è la legge oraria con x(0)=0 nel sistema S.I..
Per determinare gli istanti in cui il corpo si trova a distanza 0.5 m dal
centro dell'oscillazione occorre risolvere l'equazione
½ = |sin(6p·t)|
ovvero
sin(6p·t) = ±½
dunque
6p·t = ±p/6 + 2kp
Ú
6p·t = ±(p-p/6) + 2kp
quindi
t = ±1/36 + k/3 Ú t = ±5/36 + k/3
e considerando solo tempi futuri
t = -1/36 + 1/3 = 11/36 s, t = -1/36 + 2/3 = 23/36 s, ...
t = 1/36 s, t= 1/36 + 1/3 = 13/36 s, t = 1/36 + 2/3 = 25/36 s, ...
t = -5/36 + 1/3 = 7/36 s, t = -5/36 + 2/3 = 19/36 s, ...
t = 5/36 s, t= 5/36 + 1/3 = 17/36 s, t = 5/36 + 2/3 = 29/36 s, ...
Infine, considerando un secondo corpo in oto con legge oraria x = sin(12p·t),
si trovano nella stessa posizione quando
x = sin(6p·t) = sin(12p·t)
cioè
6p·t = 12p·t + 2kp
Ú
6p·t = p - 12p·t + 2kp
ovvero
t = k/3
Ú
t = 1/18 + k/9 = (2k+1)/18
e considerando solo tempi futuri
t = 1/3 s, t= 2/3 s, t = 1 s, ...
t = 1/18 s, t= 1/6 s, t = 5/18 s, ...
ovvero
t = 1/18 s, 3/18 s, 5/18 s, 6/18 s, 7/18 s, 9/18 s, 11/18 s, 12/18 s, 13/18 s, ...
pagina di Roberto Ricci
L.S. "A. Righi", Bologna.
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